Théorème binomial d'Abel

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En mathématiques, et plus précisément en algèbre, le théorème binomial d'Abel, dû à Niels Henrik Abel, est l'identité polynomiale suivante^[1]^,^[2]^,^[3], valide pour tout entier naturel $n$ :

\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(x-kz)^{k-1}(y+kz)^{n-k}={\frac {(x+y)^{n}}{x}}

.

Quand on l'évalue en $z=0$ , on retrouve la formule du binôme de Newton, et pour $x=-y$ , on retrouve que la différence finie $\Delta _{z}^{n}[y^{n-1}]$ est nulle^[1].

Variantes

La variante
$\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(x+k)^{k-1}(y-k)^{n-k}={\frac {(x+y)^{n}}{x}}$

est le cas particulier $z=-1$ du théorème.

Réciproquement, quand on remplace $x$ par $-{\frac {x}{z}}$ et $y$ par $-{\frac {y}{z}}$ , on retrouve le cas général.
En remplaçant $y$ par $y+n$ , on déduit de cette première variante^[4] :
$\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(x+k)^{k-1}(y+n-k)^{n-k}={\frac {(x+y+n)^{n}}{x}}$ .

Réciproquement, la première variante se déduit de la deuxième en remplaçant $y$ par $y-n$ .

On peut de même remplacer $y$ par $y-nz$ dans le théorème.
On peut bien sûr remplacer $z$ par $-z$ dans le théorème. Ceci, précédé d'un remplacement de $y$ par $y-nz$ , donne comme théorème équivalent^[5] :
$\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(x+kz)^{k-1}\left(y+(n-k)z\right)^{n-k}={\frac {(x+y+nz)^{n}}{x}}$ .
En effectuant le changement d'indice $j=n-k$ dans le théorème et ses variantes, on en trouve de nouvelles. Par exemple, la deuxième variante ci-dessus devient^[6] :
$\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(x+n-k)^{n-k-1}(y+k)^{k}={\frac {(x+y+n)^{n}}{x}}$ .
Il est également possible de déduire la variante suivante^[7] :
$\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(x+k)^{k-1}(n-k+y)^{n-k-1}={\frac {x+y}{xy}}(x+y+n)^{n-1}$ .

Vérifions la première variante dans le cas $n=2$ .

{\begin{aligned}\quad {\binom {2}{0}}x^{-1}y^{2}+{\binom {2}{1}}(x+1)^{0}(y-1)^{1}+{\binom {2}{2}}(x+2)^{1}(y-2)^{0}&={\frac {y^{2}}{x}}+2(y-1)+x+2\\&={\frac {y^{2}}{x}}+2y+x\\&={\frac {(x+y)^{2}}{x}}.\end{aligned}}

Considérons les polynômes (à coefficients dans $\mathbb {Z} [X]$ )

P_{n}(Y):=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}X(X+k)^{k-1}(Y-k)^{n-k}\quad {\text{et}}\quad Q_{n}(Y):=(X+Y)^{n}

et démontrons, par récurrence sur $n$ , que $P_{n}=Q_{n}$ pour tout $n\in \mathbb {N}$ .

On a bien $P_{0}=1=Q_{0}$ .
Supposons que pour un certain $n>0$ , $P_{n-1}=Q_{n-1}$ . Alors, les polynômes dérivés de $P_{n}$ et $Q_{n}$ sont égaux car $P'_{n}=nP_{n-1}=nQ_{n-1}=Q'_{n}$ .Par ailleurs, $P_{n}(-X)=X\Delta _{1}^{n}[X^{n-1}]=0=Q_{n}(-X)$ . Par conséquent, $P_{n}=Q_{n}.\quad \Box$

↑ ^{a et b} (de) N. H. Abel, « Beweis eines Ausdruckes, von welchem die Binomial-Formel ein einzelner Fall ist », J. reine angew. Math, vol. 1,‎ 1826, p. 159-160 (lire en ligne).
↑ (en) Donald E. Knuth, The Art of Computer Programming, vol. 1 : Fundamental Algorithms (lire en ligne), chap. 1.2.6 (« Binomial coefficients ») équation (16) et exercices 50 à 52.
↑ Louis Comtet, Analyse combinatoire avancée (lire en ligne), p. 14.
↑ « Une identité d'Abel », sur les-mathematiques.net.
↑ (en) Charalambos A. Charalambides, Enumerative Combinatorics, CRC Press, 2002 (lire en ligne), p. 207.
↑ (en) Eric W. Weisstein, « Abel's binomial theorem », sur MathWorld, aux notations près.
↑ (en) E. Bellin, « Degrees in random uniform minimal factorizations », sur arXiv, 2020, corollaire 12.

(en) Henry W. Gould (en), Combinatorial Identities, A Standardized Set of Tables Listing 500 Binomial Coefficient Summations, 1972 (lire en ligne), p. 15, (1.117), (1.118) et (1.119)
(en) Henry W. Gould et J. Quaintance (ed.), Tables of Combinatorial Identities, vol. 4, 2010 (lire en ligne), p. 18
(en) He Tianxiao, Leetsch C. Hsu et Peter J. S. Shiue, « On Abel-Gontscharoff-Gould's polynomials », Analysis in Theory and Applications, vol. 19, n^o 2,‎ 2003, p. 166-184 (DOI 10.1007/BF02835242, lire en ligne)